序數的 效用理論에서 效用函數의 數學的 應用과 均衡點

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序數的 效用理論에서 效用函數의 數學的 應用과 均衡點


序說 : 序數的 效用理論에서 效用函數의 數學的 應用과 均衡點

序數的 效用理論은 다음과 같이 數學을 應用하여 展開할 수 있다.

前提條件)
⑴ U(X,Y) 가 한 消費者의 X財와 Y財에 대한 序數的 效用函數이다
⑵ 이 函數는 2次까지 微分이 可能하다
⑶ 이 消費者에게 PX와 PY와 I가 주어졌다고 하자.

이 消費者의 選擇問題는 다음과 같이 쓸 수 있다.

Max U(X,Y) ---------------------- ①
단, PXX + PYY = I --------------------- ②

즉, PXX + PYY = I의 豫算條件下에서 U(X,Y)를 極大化하는 X와 Y의 消費量을 決定하자는 것이다. 이 問題를 解決하기 위해 라그란지(Lagrange) 函數를 세운다.

L = U(X,Y) + (PXX + PYY = I) --------③
식 ③을 極大化하면 식 ②의 條件하에 식 ①을 極大化함과 같다.
식 ③을 極大化시키는 一般條件은 다음과 같다.

∂L/∂X = U1 - P = 0 --------------------④
∂L/∂Y = U2 - P = 0 --------------------⑤
∂L/∂ = I - PXX - PYY = 0 -------------⑥

식 ④,⑤,⑥에서 U1 = ∂L/∂X = MUX, 그리고 U2= ∂L/∂Y = MUY인 것이다.
또한, 식 ④,⑤,⑥을 모두 充足시키는 X와 Y를 찾아내면 그것이 바로 無差別曲線과 豫算線이 만나는 消費者의 均衡點이다. 一般的으로 세개의 函數가 있고 세개의 未知數가 있으니 세개의 미지수 X, Y, 를 주어진 常數 PX , PY , I로 풀 수 있다. 즉,

Xd = Xd(PX , PY , I)
....
인문, 어학