수학과 사회 - 집합론 역사
수학과 사회 - 집합론 역사
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『수학원리』의 목적은 모든 순수 수학은 순전히 논리적 전제들로부터 도출해 낼 수 있으며 오로지 논리적인 언어만을 가지고 정의할 수 있는 개념만을 사용한다는 것을 보이려는 것이다. 아마도 이 과정에서 가장 중요한 사건의 하나는 이른바 러셀의 패러독스 (Russell s Paradox)라고 하는 역리를 발견한 것일텐데, 러셀이 1901년 이 역리를 발견했을 때 화이트헤드는 더 이상 자신감 넘치는 아침을 기뻐하지 말라고 했다고 한다.
러셀은 수학이 순수하게 논리적인 것에 기초한다는 것을 보이기 위해서 수 개념을 논리학에 속하는 개념들로부터 도출해내려고 시도했다. 그는 집합 개념을 통해서 수를 정의함으로써 그것이 가능하다고 보았다. 좀더 정확하게 말하면, 그는 수를 집합의 집합으로 보았다. 이를테면, 2라는 수는 한 쌍들의 집합으로 정의할 수 있다. 2는 구성원이 두 개로 이루어지는 모든 집합의 집합으로 정의될 수 있다는 것이다. 러셀은 이렇게 수를 논리적인 개념에서 이끌어 내는 과정에서 모순에 도달하게 된다. 집합은 그 자신이 다른 집합의 구성원이 될 수 있었다. 그렇다면 하나의 집합은 그 자신의 구성원이 될 수 있을까 중학생들의 집합은 중학생들을 구성원으로 하겠지만, 그 집합 자체는 중학생이 아니다. 하지만 모든 집합들의 집합의 경우는 어떤가 그러한 집합의 구성원들은 그 자체로 집합들이다. 그래서 우리는 집합을 두 부류로 구별해 볼 수 있는데, 하나는 그 자신을 구성원으로 하는 집합이요, 다른 하나는 그 자신이 구성원이 되지 않는 집합이다. S를 그들 자신이 원소가 아닌 모든 집합의 집합이라 정의하자. 이때 S는 그 자신의 원소일까 만일 S가 S의 원소라 한다면, S의 정의에 의해서, S는 S의 원소가 아니다. 그러나 만일 S가 S의 원소가 아니라면, (다시, S의 정의에 의해서) S는 S의 원소이다. 바로 이것이 러셀의 역리이다.
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『수학원리』의 목적은 모든 순수 수학은 순전히 논리적 전제들로부터 도출해 낼 수 있으며 오로지 논리적인 언어만을 가지고 정의할 수 있는 개념만을 사용한다는 것을 보이려는 것이다. 아마도 이 과정에서 가장 중요한 사건의 하나는 이른바 러셀의 패러독스 (Russell s Paradox)라고 하는 역리를 발견한 것일텐데, 러셀이 1901년 이 역리를 발견했을 때 화이트헤드는 더 이상 자신감 넘치는 아침을 기뻐하지 말라고 했다고 한다.
러셀은 수학이 순수하게 논리적인 것에 기초한다는 것을 보이기 위해서 수 개념을 논리학에 속하는 개념들로부터 도출해내려고 시도했다. 그는 집합 개념을 통해서 수를 정의함으로써 그것이 가능하다고 보았다. 좀더 정확하게 말하면, 그는 수를 집합의 집합으로 보았다. 이를테면, 2라는 수는 한 쌍들의 집합으로 정의할 수 있다. 2는 구성원이 두 개로 이루어지는 모든 집합의 집합으로 정의될 수 있다는 것이다. 러셀은 이렇게 수를 논리적인 개념에서 이끌어 내는 과정에서 모순에 도달하게 된다. 집합은 그 자신이 다른 집합의 구성원이 될 수 있었다. 그렇다면 하나의 집합은 그 자신의 구성원이 될 수 있을까 중학생들의 집합은 중학생들을 구성원으로 하겠지만, 그 집합 자체는 중학생이 아니다. 하지만 모든 집합들의 집합의 경우는 어떤가 그러한 집합의 구성원들은 그 자체로 집합들이다. 그래서 우리는 집합을 두 부류로 구별해 볼 수 있는데, 하나는 그 자신을 구성원으로 하는 집합이요, 다른 하나는 그 자신이 구성원이 되지 않는 집합이다. S를 그들 자신이 원소가 아닌 모든 집합의 집합이라 정의하자. 이때 S는 그 자신의 원소일까 만일 S가 S의 원소라 한다면, S의 정의에 의해서, S는 S의 원소가 아니다. 그러나 만일 S가 S의 원소가 아니라면, (다시, S의 정의에 의해서) S는 S의 원소이다. 바로 이것이 러셀의 역리이다.
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